物理

1. 牛顿第二定律 在牛顿力学的视角下，质点的运动规律都服从一个二阶微分方程 $$ \mathbf{F}=\mathrm{m}\mathbf{\ddot{x}} $$对于不同的力， $\mathbf{F}$ 的形式有所不同。但是只要代入求解上述的微分方程，再加上 $\textbf{x} $与 $\mathbf{\ddot{x}}$ 的初值条件，我们就可以得到这一个质点的运动方程$\mathbf{x} = \mathbf{x}(\mathrm{t})$ . 看起来，牛顿第二定律似乎足够我们解决大多数的动力学问题了. 但是对于具体的物理情景而言，情况似乎要复杂得多. 1.1 物理坐标$(x, y)$下的单摆运动 例如，我们考虑匀重力场$\mathbf{g}$下一个摆长为$l$单摆的运动： 当它达到摆角$\theta$时，受到绳子的约束力为$\mathbf{T}$. 由牛顿第二定律，在$x$轴与$y$轴方向上： $$ \mathrm{T} \sin \theta = - \mathrm{m} \mathrm{\ddot{x}} \\ \mathrm{mg} - \mathrm{T} \cos \theta =\mathrm{m} \mathrm{\ddot{y}} $$消去$\mathrm{T}$得到： $$ \mathrm{\ddot{x}} + (\mathrm{\ddot{y}-g}) \frac{x} {y}= 0 \Rightarrow \mathrm{ \ddot{x} y + x(\ddot{y} - g) = 0} $$不幸的是，在这样的情形下，仅凭借牛顿第二定律无法帮助我们得到单摆的运动方程. 原因是显而易见的：在这个情景下，质点不是在整个空间内不受束缚地自由运动. 它的运动受到了几何上的约束$\mathrm{x^2+y^2} = l^2$，即摆绳不可自由伸长. 只有联立这两个方程，才能最终解出单摆的运动方程. 对约束方程求二次导数： $$ \mathrm{ x\dot{x} + y\dot{y} = 0} \Rightarrow \mathrm{\dot{y} = -\frac{x}{y} \dot{x}}\\ \mathrm{ \dot{x}^2 + x \ddot{x} + \dot{y}^2 + y \ddot{y} = 0 } $$消去$\mathrm{y, \dot{y}, \ddot{y}}$得到： ...