[{"content":"","permalink":"https://blogs.starspress.org/posts/quanmech_001/","summary":"量子力学总览：量子力学的基本假设","title":"量子力学 001"},{"content":"Tip: 分析力学的往期内容戳这里\n1. 矢量分析基础 $Einstein$求和约定真的太好用了.\n——沃夏 · 硕德\n在讲矢量分析之前，我想先回顾一下我们老生常谈的$Einstein$求和约定.\n当一个表达式中出现了重复的指标（包括上标、下标）相乘时，将这个重复指标视为求和索引，对表达式进行遍历求和：\n$$ p_i q_i :=\\sum_{i=1}^{n} p_i q_i $$$$ r_{\\mu\\nu} s_\\mu t_\\nu:= \\sum_{\\mu=1}^{n}\\sum_{\\nu=1}^{n} r_{\\mu\\nu} s_\\mu t_\\nu $$在这里，重复的指标（也就是求和的指标）我们称为 “哑指标”；而不参与求和的指标我们称为 “自由指标”. 哑指标本身不表示什么特殊的意义，也就是说，哑指标的字母可以在不引起歧义的情况下自由替换. 这时很容易理解的，比如当$i = 1, 2, 3$时：\n$$ p_i q_i :=\\sum_{i=1}^{3} p_i q_i = p_1 q_1 + p_2 q_2 + p_3 q_3 $$这个实际上的求和与我们的求和指标选取的字母无关，不管我们把$i$换成什么字母——$abc$也好$rst$也罢——这一个求和表示的都是等号最右边的那个表达式.\n我们选取哑指标的标准只有一个：不与已存在的哑指标的字母一致. 比如说，如果我们在第一个求和式选取了$ij$作为哑指标，那我们的第二个求和式就不要再使用$ij$了，而是选择其他字母（比如$mn$）. 当然，如果我们将和式化到了最简（至少不会产生歧义），我们可以把其中的某组哑指标（如$mn$）化为另一组哑指标（如$ij$），以保证结果的简洁.\n1.1 $Kronecker$张量 在线性空间$\\mathbb R^n$中，我们一定可以找到一组单位正交基向量$\\left\\{ \\mathbf{e}_1, \\mathbf{e}_2,\\ \\dots, \\mathbf{e}_n \\right\\}$. 我们从中选取两个基向量$\\mathbf{e}_i, \\mathbf{e}_j$，当$i = j$时，$\\mathbf{e}_i \\cdot \\mathbf{e}_j = 1$；否则，$\\mathbf{e}_i \\cdot \\mathbf{e}_j = 0$.\n一生追求偷懒的数学家们把上面两个式子写成了一个统一的形式：\n$$ \\mathbf{e}_i \\cdot \\mathbf{e}_j = \\delta_{ij} $$其中的$\\delta_{ij}$称为$Kronecker$张量，遵循如下的定义：\n$$ \\delta_{ij} = \\left\\{ \\begin{aligned} 1 \u0026, \\ i = j \\\\ 0 \u0026, \\ i \\neq j \\end{aligned} \\right. $$1.1.1 性质 $Kronecker$张量有一些比较废话的性质，比如：\n$\\delta_{ij} = \\delta_{ji}$ 这是废话\n$\\delta_{ij} A_j = A_i$ 这也是废话，因为当且仅当$j = i$时，$\\delta_{ij}A_j$才不等于$0$\n1.1.2 应用 对于两个矢量$\\mathbf A = A_i \\mathbf e_i, \\mathbf B = B_j \\mathbf e_j$（记得不要选取重复的哑指标哦！）\n$$ \\mathbf A \\cdot \\mathbf B = (A_i \\mathbf e_i) \\cdot (B_j \\mathbf e_j) = A_i B_j (\\mathbf e_i \\mathbf e_j) = \\delta_{ij}A_i B_j $$当然，你也可以写成$\\mathbf A \\cdot \\mathbf B = A_iB_i$. 在合适的时候选取合适的数量积表示方法可以帮助我们更好地解决问题.\n当然，有一点必须要格外注意：在$Kronecker$张量中，有些时候也会出现重复的指标，比如$\\delta_{ii}$. 这种情况下千万不要忘记使用$Einstein$求和约定！\n1.2 $Levi-Civita$张量 在线性空间$\\mathbb R^n$中，我们一定可以找到一组单位正交基向量$\\left\\{ \\mathbf{e}_1, \\mathbf{e}_2,\\ \\dots, \\mathbf{e}_n \\right\\}$. 我们从中选取两个基向量$\\mathbf{e}_i, \\mathbf{e}_j$，我们记$\\mathbf{e}_i \\times \\mathbf{e}_j = \\epsilon_{ijk}\\ \\mathbf e_k$. 我们称$\\epsilon_{ijk}$为$Levi-Civita$张量.\n我们一般会这么定义$Levi-Civita$张量：\n$$ \\epsilon_{ijk} = \\left\\{ \\begin{aligned} 1 \u0026, \\ ijk \\ 为偶排列 \\\\ -1 \u0026, \\ ijk \\ 为奇排列 \\\\ 0 \u0026, \\ ijk \\ 为其他情况 \\end{aligned} \\right . $$其中，偶排列指的是逆序数为偶数的排列1，奇排列指的是逆序数为奇数的排列.\n当然，如果你忘了逆序数是个什么逆天玩意也没关系. 我们可以说人话.\n当$ijk$三个值的顺序保持了$123$这三个数的相对位置不变时（即$ijk$取$123, 231, 321$时），$\\epsilon_{ijk} = 1$.\n当$ijk$三个值的顺序不能保证$123$这三个数的相对位置不变时（即$ijk$取$132, 321, 213$时），$\\epsilon_{ijk} = -1$.\n当$ijk$三个值出现了重复值的时候（如$ijk$取诸如$111, 112, 113, 122, \\dots$这样的值时），$\\epsilon_{ijk} = 0$.\n我们还可以推出$Levi-Civita$张量的行列式形式：\n$$ \\epsilon_{ijk} = \\begin{vmatrix} \\delta_{1i} \u0026 \\delta_{1j} \u0026 \\delta_{1k} \\\\ \\delta_{2i} \u0026 \\delta_{2j} \u0026 \\delta_{2k} \\\\ \\delta_{3i} \u0026 \\delta_{3j} \u0026 \\delta_{3k} \\end{vmatrix} $$你可以使用$Kronecker$张量的缩并性+哑指标展开消去$Levi-Civita$张量来得到这个式子. 但是我在这里就不加推导了，只在这证明这两个形式的等价性.\n当$ijk$存在重复指标时，上述行列式中存在两列完全相同. 因此$\\epsilon_{ijk} = 0$.\n当$ijk$成偶排列时，我们不妨先只考虑$ijk = 123$的情况：\n此时，$\\epsilon_{ijk} = \\det{\\mathrm I_{3 \\times 3}} = 1$，其中$\\mathrm I_{3 \\times 3}$为三阶单位矩阵.\n而我们对排列$123$进行偶数次交换（即对该行列式的各列进行偶数次交换，行列式的值不变），可以得到$ijk$取其他偶排列的情况，行列式的值不变.\n因此，$ijk$成偶排列时，$\\epsilon_{ijk} = 1$.\n当$ijk$成奇排列时，同理，我们只需要对排列$123$取奇数次交换（行列式的值变为其相反数）即可得到所有奇排列的情况. 因此$\\epsilon_{ijk} = -1$\n行列式形式可以帮助我们更好地证明$Levi-Civita$张量的各个性质.\n1.2.1 性质 1.2.1.1 缩并性 $$ \\epsilon_{ijk}\\epsilon_{pqr} = \\begin{vmatrix} \\delta_{pi} \u0026 \\delta_{qi} \u0026 \\delta_{ri} \\\\ \\delta_{pj} \u0026 \\delta_{qj} \u0026 \\delta_{rj} \\\\ \\delta_{pk} \u0026 \\delta_{qk} \u0026 \\delta_{rk} \\end{vmatrix} $$特殊且更常用的形式是，当$r = k$时：\n$$ \\epsilon_{ijk}\\epsilon_{pqk} = \\delta_{ip}\\delta_{jq} - \\delta_{iq}\\delta_{jp} $$我们可以这么记忆：第一项的指标的顺序是$ij, pq$，为顺序；第二项指标的顺序是$ij, qp$，为逆序. 因此，这个结论可以记为 “顺序减逆序”. 当然如果你有更好的记忆方法也可以就是了（\n我们来证明第一个结论.\n设矩阵$\\mathrm A = \\begin{pmatrix} \\delta_{1i} \u0026 \\delta_{1j} \u0026 \\delta_{1k} \\\\ \\delta_{2i} \u0026 \\delta_{2j} \u0026 \\delta_{2k} \\\\ \\delta_{3i} \u0026 \\delta_{3j} \u0026 \\delta_{3k} \\end{pmatrix}$, $\\mathrm B = \\begin{pmatrix} \\delta_{1p} \u0026 \\delta_{1q} \u0026 \\delta_{1r} \\\\ \\delta_{2p} \u0026 \\delta_{2q} \u0026 \\delta_{2r} \\\\ \\delta_{3p} \u0026 \\delta_{3q} \u0026 \\delta_{3r} \\end{pmatrix}$. 故$\\epsilon_{ijk}\\epsilon_{pqr} = \\det \\mathrm A \\det \\mathrm B = \\det \\left( \\mathrm A\\mathrm B \\right) = \\det(AB^{\\mathrm T})$. 我们考虑$\\mathrm A \\mathrm B^{\\mathrm T}$的第$m$行第$n$列的项：\n$$ (\\mathrm A\\mathrm B^{\\mathrm T})_{mn} = \\mathrm A_{ml} \\mathrm B_{ln}^{\\mathrm T} = \\delta_{ml} \\delta_{nl} = \\delta_{mn} $$其中，$m = i, j, k;\\ n = p, q, r$.\n因此：\n$$ \\epsilon_{ijk}\\epsilon_{pqr} = \\det {AB^{\\mathrm T}} = \\begin{vmatrix} \\delta_{pi} \u0026 \\delta_{qi} \u0026 \\delta_{ri} \\\\ \\delta_{pj} \u0026 \\delta_{qj} \u0026 \\delta_{rj} \\\\ \\delta_{pk} \u0026 \\delta_{qk} \u0026 \\delta_{rk} \\end{vmatrix} $$得证.\n1.2.1.2 反对称性 $\\epsilon_{ijk} = -\\epsilon_{ikj} = -\\epsilon_{kji} = -\\epsilon_{jik}$，我们称其具有反对称性.\n考虑一个对称的张量$F_{ij} = F_{ji}$，我们有：$\\epsilon_{ijk}F_{ij} = 0$. 下给出证明：\n$$ \\epsilon_{ijk}F_{ij} = \\frac1 2 \\epsilon_{ijk}F_{ij} + \\frac1 2 \\epsilon_{ijk}F_{ij} = \\frac1 2 \\epsilon_{ijk}F_{ij} - \\frac1 2 \\epsilon_{jik}F_{ji} $$由于第二项的$ij$是哑指标，我们可以通过更换指标字母$i \\rightarrow j, j \\rightarrow i$，得到\n$$ \\epsilon_{ijk}F_{ij} = \\frac1 2 \\epsilon_{ijk}F_{ij} - \\frac1 2 \\epsilon_{ijk}F_{ij} = 0 $$得证.\n1.2.2 应用 对于两个矢量$\\mathbf A = A_i \\mathbf e_i, \\mathbf B = B_j \\mathbf e_j$\n$$ \\mathbf{A \\times B} = (A_i \\mathbf e_i) \\times (B_j \\mathbf e_j) = A_i B_i (\\mathbf e_i \\times \\mathbf e_j) = (\\epsilon_{ijk}A_i B_j) \\mathbf e_k $$因此，$\\mathbf{A \\times B}$的第$k$分量$(\\mathbf{A \\times B})_k = \\epsilon_{ijk}A_i B_j$. 很多情况下，我们讨论$\\mathbf{A \\times B}$，只需要讨论其某一个分量即可.\n更进一步：\n$$ \\begin{aligned} \u0026 \\ \\ \\ \\ \\ \\ (\\mathbf A \\times \\mathbf B) \\cdot (\\mathbf C \\times \\mathbf D) = (\\mathbf A \\times \\mathbf B)_i (\\mathbf C \\times \\mathbf D)_i \\\\ \\\\ \u0026= (\\epsilon_{ijk} A_j B_k)(\\epsilon_{ilm} C_l D_m) = \\epsilon_{ijk}\\epsilon_{ilm} A_j B_kC_l D_m \\\\ \\\\ \u0026= (\\delta_{jl}\\delta_{km} - \\delta_{jm}\\delta_{kl})A_j B_kC_l D_m \\\\ \\\\ \u0026= \\delta_{jl}\\delta_{km}A_j B_kC_l D_m - \\delta_{jm}\\delta_{kl}A_j B_kC_l D_m \\\\ \\\\ \u0026= A_j B_k C_j D_k - A_j B_k C_k D_j \\\\ \\\\ \u0026= (A_j C_j)(B_k D_k) - (A_j D_j)(B_k C_k) \\\\ \\\\ \u0026= (\\mathbf {A \\cdot C})(\\mathbf {B \\cdot D}) - (\\mathbf {A \\cdot D})(\\mathbf {B \\cdot C}) \\end{aligned} $$即\n$$ (\\mathbf A \\times \\mathbf B) \\cdot (\\mathbf C \\times \\mathbf D) = (\\mathbf {A \\cdot C})(\\mathbf {B \\cdot D}) - (\\mathbf {A \\cdot D})(\\mathbf {B \\cdot C}) $$2. $Poisson$括号 在上一篇文章，我们就已经引入了$Poisson$括号. 在这里，我想对它进行进一步的介绍.\n2.1 定义 两个力学量$A, B$的$Poisson$括号，一般记作$\\{ A, B\\}$或者$[A, B]_{PB}$，又称经典正则对易子，遵循如下定义：\n$$ \\{ A, B\\} = \\frac{\\partial A}{\\partial q^\\alpha}\\frac{\\partial B}{\\partial p_\\alpha} - \\frac{\\partial B}{\\partial q^\\alpha}\\frac{\\partial A}{\\partial p_\\alpha} $$2.2 性质 2.2.1 基本对易关系： 由定义可知，有\n$$ \\begin{aligned} \u0026\\{ q^\\mu,p_\\nu\\} = \\delta_{\\mu\\nu} \\\\ \u0026\\{ q^\\mu, q^\\nu\\} = \\{ p_\\mu, p_\\nu\\} = 0 \\end{aligned} $$称为基本对易关系\n2.2.2 运算性质 $$ \\begin{aligned} \u0026\\ \\{ A, B\\} = -\\{B, A\\} \\\\ \\\\ \u0026\\left.\\begin{array}{l} \\{A+B, C\\} = \\{A, C\\} + \\{B, C\\} \\\\ \\{A, B+C\\} = \\{A, B\\} + \\{A, C\\} \\\\ \\lambda\\{A, B\\} = \\{\\lambda A, B\\} = \\{A, \\lambda B\\} \\end{array}\\right\\} \\text{线性性} \\\\ \\\\ \u0026\\left.\\begin{array}{l} \\{AB, C\\} = A\\{B, C\\} + \\{A, C\\}B \\\\ \\{A, BC\\} = \\{A, B\\}C + B\\{A, C\\} \\end{array}\\right\\} \\text{Lebniz律} \\\\ \\\\ \u0026\\left.\\begin{array}{l} \\{A, f(B)\\} = \\{A, B\\}\\dfrac{\\partial f}{\\partial B} \\\\ \\{f(A), B\\} = \\dfrac{\\partial f}{\\partial A}\\{A, B\\} \\end{array}\\right\\} \\\\ \\\\ \u0026\\ \\{ A, B^n\\} =n\\{A, B\\}B^{n-1} \\\\ \u0026\\ \\{ A^n, B\\} =nA^{n-1}\\{A, B\\} \\end{aligned} $$计算时注意$A, B, C$乘积的相对位置关系。\n2.3 角动量分量间的关系 已知：$L_i = \\epsilon_{ijk}x_j p_k$，求证$\\{L_i, L_j\\} = \\epsilon_{ijk}L_k$：\n$$ \\begin{aligned} \\text{Proof: } \u0026 \u0026\u0026\\\\ \u0026\\{L_i, L_j\\} = \\{\\epsilon_{iab} x_a p_b, \\epsilon_{jcd} x_c p_d \\} = \\epsilon_{iab}\\epsilon_{jcd} \\{x_a p_b, x_cp_d\\} \\\\ \\\\ \u0026\\text{其中} \\\\ \u0026\\{x_a p_b, x_c p_d\\} = x_a\\{p_b, x_c p_d\\} + \\{ x_a, x_c p_d\\}p_b \\\\ \u0026= \\dots \\\\ \u0026= x_c\\{x_a, p_d\\}p_b - x_a\\{x_c, p_b\\}p_d \\\\ \u0026= \\delta_{ad}x_c p_b - \\delta_{bc}x_a p_d \\\\ \\\\ \u0026\\text{即} \\\\ \u0026 \\{ L_i, L_j\\} = \\epsilon_{iab}\\epsilon_{jcd}\\delta_{ad}x_c p_b - \\epsilon_{iab}\\epsilon_{jcd}\\delta_{bc}x_a p_d \\\\ \u0026= \\epsilon_{iab}\\epsilon_{jca}x_c p_b - \\epsilon_{iac}\\epsilon_{jcd}x_a p_d \\\\ \u0026= (\\delta_{bj}\\delta_{ic} - \\delta_{bc}\\delta_{ij})x_c p_b - (\\delta_{id}\\delta_{aj} - \\delta_{ij}\\delta_{ad})x_a p_d \\\\ \u0026= (x_i p_j - \\delta_{ij}x_b p_b) - (x_j p_i - \\delta_{ij}x_a p_a) \\\\ \u0026= x_i p_j - x_j p_i \\\\ \\\\ \u0026\\text{另一方面} \\\\ \u0026\\epsilon_{ijk}L_k = \\epsilon_{ijk}\\epsilon_{klm}x_l p_m \\\\ \u0026= (\\delta_{il}\\delta_{jm} - \\delta_{im}\\delta_{jl})x_l p_m \\\\ \u0026= x_i p_j - x_j p_i \\\\ \\\\ \u0026\\text{故} \\\\ \u0026\\{L_i, L_j\\} = \\epsilon_{ijk}L_k \\\\ \u0026\u0026\\text{Q.E.D} \\end{aligned} $$ 逆序数就是你学习线性代数它教材第一章上来就甩到你脸上的东西\u0026#160;\u0026#x21a9;\u0026#xfe0e;\n","permalink":"https://blogs.starspress.org/posts/analmech_004/","summary":"Poisson 括号与矢量分析基础","title":"分析力学 004"},{"content":"Tip: 分析力学的往期内容戳这里\n1. 能量函数与广义能量守恒 我们讨论一下系统拉格朗日量$L = L(t, \\mathbf q, \\mathbf{\\dot q})$随时间的演化.\n$$ \\frac{\\mathrm d L}{\\mathrm dt} = \\frac{\\partial L}{\\partial t} + \\frac{\\partial L}{\\partial q^{\\alpha}}\\dot{q^{\\alpha}} + \\frac{\\partial L}{\\partial \\dot{q}^{\\alpha}}\\ddot{q^{\\alpha}} $$利用分部积分法：\n$$ \\frac{\\partial L}{\\partial \\dot{q}^{\\alpha}}\\ddot{q^{\\alpha}} = \\frac{\\mathrm d }{\\mathrm dt} \\left( \\frac{\\partial L}{\\partial \\dot{q}^{\\alpha}}\\dot{q^{\\alpha}} \\right) - \\frac{\\mathrm d }{\\mathrm dt} \\left( \\frac{\\partial L}{\\partial \\dot{q}^{\\alpha}} \\right)\\dot{q^{\\alpha}} $$回代：\n$$ \\frac{\\mathrm d L}{\\mathrm dt} = \\frac{\\partial L}{\\partial t} + \\frac{\\partial L}{\\partial q^{\\alpha}}\\dot{q^{\\alpha}} + \\frac{\\mathrm d }{\\mathrm dt} \\left( \\frac{\\partial L}{\\partial \\dot{q}^{\\alpha}}\\dot{q^{\\alpha}} \\right) - \\frac{\\mathrm d }{\\mathrm dt} \\left( \\frac{\\partial L}{\\partial \\dot{q}^{\\alpha}} \\right)\\dot{q^{\\alpha}} $$整理一下可以得到：\n$$ \\frac{\\mathrm d}{\\mathrm dt} \\left( \\frac{\\partial L}{\\partial \\dot{q}^{\\alpha}}\\dot{q^{\\alpha}} - L \\right) + \\left[ \\underbrace{ \\frac{\\mathrm d}{\\mathrm d t}\\left(\\frac{\\partial L}{\\partial \\dot q^\\alpha}\\right) - \\frac{\\partial L}{\\partial q^\\alpha} }_{0} \\right] \\dot{q^{\\alpha}} + \\frac{\\partial L}{\\partial t} = 0 $$即\n$$ \\frac{\\mathrm d}{\\mathrm dt} \\left( \\frac{\\partial L}{\\partial \\dot{q}^{\\alpha}}\\dot{q^{\\alpha}} - L \\right) = - \\frac{\\partial L}{\\partial t} $$我们定义$h(t, \\mathbf q, \\mathbf{\\dot q}) = \\frac{\\partial L}{\\partial \\dot{q}^{\\alpha}}\\dot{q^{\\alpha}} - L$. 在采用物理坐标$(x, y)$的牛顿力学中：$L = \\dfrac{1}{2}m \\mathbf{\\dot x}^2 - V(\\mathbf x)$，代入表达式得$h(t, \\mathbf x, \\mathbf{\\dot x}) = \\dfrac{1}{2}m \\mathbf{\\dot x}^2 + V(\\mathbf x)$，为系统的总能量. 因此，我们称$h(t, \\mathbf q, \\mathbf{\\dot q}) = \\frac{\\partial L}{\\partial \\dot{q}^{\\alpha}}\\dot{q^{\\alpha}} - L$为这个物理系统的能量函数.\n我们还会定义共轭动量$p_\\alpha = \\dfrac{\\partial L}{\\partial \\dot{q}^{\\alpha}}$，这个定义也是自然的，因为它在在采用物理坐标$(x, y)$的牛顿力学中会退化为$\\mathbf p = m \\mathbf{\\dot x}$的形式. 此时，能量函数可以写成$h(t, \\mathbf q, \\mathbf{\\dot q}) = p_\\alpha \\dot{q^{\\alpha}} - L$.\n当系统的拉格朗日量不显含时间时，即$\\dfrac{\\partial L}{\\partial t} = 0$时，我们有\n$$ \\frac{\\mathrm dh}{\\mathrm dt} = 0 $$即$h$为一个常函数. 我们称之为广义能量守恒，称现在的物理系统是一个保守系统.\n2. $Hamilton$力学 2.1 $Lagrange$力学的不足 我们之前介绍过，我们可以利用拉格朗日量$L = L(t, \\mathbf q, \\mathbf{\\dot q})$将系统的演化归结为一个关于广义坐标的二阶微分方程\n$$ \\frac{\\mathrm d}{\\mathrm d t}\\left(\\frac{\\partial L}{\\partial \\dot q^\\alpha}\\right) - \\frac{\\partial L}{\\partial q^\\alpha} = 0 $$从而求出位形空间中系统的运动方程. 但是这个方法稍微有一点缺陷：我们知道，一个质点的运动由其广义坐标$\\mathbf q$与广义速度$\\mathbf{\\dot q}$确定. 而在位形空间中，我们只能得到系统的广义坐标信息$\\mathbf q$，而无法直接得到系统的广义速度$\\mathbf{\\dot q}$. 另一方面，如果我们将广义坐标与广义速度张成一个空间$(\\mathbf q, \\mathbf{\\dot q})$，称为速度相空间，并试图在速度相空间中确定系统的演化时，我们又会发现，由于存在一个自然的约束$\\dfrac{\\mathrm d}{\\mathrm dt}\\mathbf q = \\mathbf{\\dot q}$，广义速度时刻要受到广义坐标的束缚. 因此速度相空间中并不是每一个点都是有意义的.1\n归根结底，出现这种问题是因为在$Lagrange$力学中，我们选取的参数$(\\mathbf q, \\mathbf{\\dot q})$ 虽然相互独立，但是它们的地位并不是平等的. 我们不禁想问这样一个问题：我们能否找到一组合适且地位平等参数来描述物理系统的演化呢？\n2.2 $Legendre$变换 描述一个平面曲线需要哪些参数？\n最自然的想法一定是：我们用一对坐标$(x, y)$来记录曲线上每一个点的位置，这一系列点组成的集合即为这条平面曲线. 用数学语言描述就是：曲线$\\Gamma = \\left\\{ (x, y) \\mid P(x, y) \\right\\}$，其中$P(x, y)$为坐标$(x, y)$之间的关系. 但是除此之外，我们还有另外一种方法.\n设想这样一个例子：一根刚性连杆的两端分别接在两个相互垂直的滑轨上. 连杆的两端可以在滑轨上自由滑动. 如左图.\n很容易想象：连杆在滑动的过程中可以扫出一条曲线，且连杆时刻与这根曲线相切，如右图.\n这给我们提供了一个新的描述一根平面曲线的思路：因为切线包含了函数在切点附近的所有信息，因此我们可以用函数各点处的切线来描述这一根平面曲线. 而确定一根切线只需要两个参数：斜率$p$与负纵截距$I$. 或许我们可以通过这个方法，将原曲线由$y = f(x)$的形式（描述各点的坐标）改写成$I = f^*(p)$的形式（描述各点切线的斜率与负纵截距）.\n我们可以尝试一下这个方法：已知函数$y = f(x)$，其在$x = x_0$处的切线为：\n$$ y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \\Rightarrow y = f'(x_0)x + f(x_0)-f'(x_0)x_0 $$其斜率$p_0 = f'(x_0)$，负纵截距$I_0 = f'(x_0)x_0 - f(x_0)$. 我们可以将$x_0$反解出来，得到$x_0 = x(p_0)$，再代入负纵截距的表达式，我们得到\n$$ I_0 = p_0 x(p_0) - f(x(p_0)) $$由于这个式子对曲线上所有点均成立，因此可以写成\n$$ I = p x(p) - f(x(p)) $$我们将其定义为曲线$y = f(x)$的$Legendre$变换.\n当然，这种形式的$Legendre$变换有诸多的限制条件，例如$y = f(x)$必须为性质足够好的严格下凸函数. 但是这种形式的变换已经足够我们使用了.\n2.3 $Hamilton$力学 2.3.1 哈密顿量$Hamiltonian$ 我们在想：我们能否通过$Legendre$变换，更换一组地位平等的参数，以描述物理系统的演化呢？\n对于拉格朗日量$L = T - V$，其动能项是一个关于广义速度的二次型2，而其势能项不包含广义速度. 因此，拉格朗日量是一个关于广义速度的严格下凸函数，符合$Lengendre$变换的使用条件.\n因此，对于拉格朗日量$L = L(t, \\mathbf q, \\mathbf{\\dot q})$，我们固定$t$与$\\mathbf q$为一个定值，对$\\mathbf{\\dot q}$进行$Lengendre$变换，可以得到：\n$$ H = \\frac{\\partial L}{\\partial \\dot{q}^{\\alpha}} \\dot{q}^{\\alpha} - L(t, \\mathbf q, \\mathbf{\\dot q}) $$我们定义广义动量$p_\\alpha = \\dfrac{\\partial L}{\\partial \\dot{q}^{\\alpha}}$，那么上式可以写成\n$$ H(t, \\mathbf q, \\mathbf p) = p_{\\alpha} \\dot{q}^{\\alpha} - L(t, \\mathbf q, \\mathbf{\\dot q}) $$其中$\\mathbf {\\dot q} = \\mathbf{\\dot q}(\\mathbf p)$为广义动量的函数.\n我们定义：$H(t, \\mathbf q, \\mathbf p) = p_{\\alpha} \\dot{q}^{\\alpha} - L(t, \\mathbf q, \\mathbf{\\dot q})$ 为物理系统的哈密顿量$Hamiltonian$.\n我们发现，哈密顿量$H(t, \\mathbf q, \\mathbf p) = p_{\\alpha} \\dot{q}^{\\alpha} - L(t, \\mathbf q, \\mathbf{\\dot q})$与能量函数$h(t, \\mathbf q, \\mathbf{\\dot q}) = \\frac{\\partial L}{\\partial \\dot{q}^{\\alpha}}\\dot{q^{\\alpha}} - L$在形式上完全一致. 事实上，根据共轭动量的定义$p_\\alpha = \\dfrac{\\partial L}{\\partial \\dot{q}^{\\alpha}}$，原则上我们可以反解出$\\dot q^\\alpha = \\dot q^\\alpha (p_\\alpha)$，再代回能量函数的表达式即可得到哈密顿量.\n尽管哈密顿量在形式上含有广义速度，但是这里的广义速度其实是从广义动量的定义式反解出来的一个关于广义动量的函数. 如果你对此感到疑惑的话，我们可以尝试让哈密顿量对广义速度进行求导：\n$$ \\frac{\\partial H}{\\partial \\dot q^\\alpha} = p_\\alpha - \\underbrace{\\frac{\\partial L}{\\partial \\dot q ^\\alpha}}_{=p_\\alpha} = 0 $$故哈密顿量中不直接包含广义速度. 从中我们也可以得出广义动量与广义速度相互独立，因为\n$$ \\frac{\\partial H}{\\partial \\dot q^\\alpha} = \\frac{\\partial H}{\\partial p_\\alpha} \\cdot \\frac{\\partial p_\\alpha}{\\partial \\dot q^\\alpha} = 0 $$其中$\\dfrac{\\partial H}{\\partial p_\\alpha} \\neq 0$（因为哈密顿量显含广义动量），因此有$\\dfrac{\\partial p_\\alpha}{\\partial \\dot q^\\alpha} = 0$，即广义动量与广义速度相互独立. 这样就保证了广义坐标与广义动量地位的平等性.\n我们将一个物理系统的广义坐标与广义动量张成的空间$(\\mathbf q, \\mathbf p)$称作动量相空间，简称相空间. 由于参数$(\\mathbf q, \\mathbf p)$与参数$(\\mathbf q, \\mathbf{\\dot q})$的效果完全一致，均可描述物理系统的状态，而前者两个参数的地位又是平等的. 因此，我们便可以用相空间中的一个点唯一地确定一个物理系统的状态.\n当$L = T - V$时，我们可以得到$H = T + V$3.\n2.3.2 $Hamilton$正则运动方程 我们知道，拉格朗日量的演化服从$Euler-Lagrange$方程. 那么哈密顿量的演化又满足什么方程呢？我们不妨将哈密顿量对时间$t$，广义坐标$\\mathbf q$与广义动量$\\mathbf p$求个偏导试试.\n对时间求偏导：\n$$ \\frac{\\partial H}{\\partial t} = - \\frac{\\partial L}{\\partial t} $$对广义坐标求偏导：\n$$ \\frac{\\partial H}{\\partial q^\\alpha} = p_\\alpha \\frac{\\partial \\dot q^\\alpha}{\\partial q^\\alpha} + \\frac{\\partial p_\\alpha}{\\partial q^\\alpha}\\dot q^\\alpha - \\frac{\\partial L}{\\partial q^\\alpha} $$由于$p_\\alpha, q^\\alpha, \\dot q^\\alpha$的相互独立性\n$$ \\frac{\\partial H}{\\partial q^\\alpha} = - \\frac{\\partial L}{\\partial q^\\alpha} $$又由$Euler-Lagrange$方程：$\\dfrac{\\partial L}{\\partial q^\\alpha} = \\dfrac{\\mathrm d}{\\mathrm dt}\\left( \\dfrac{\\partial L}{\\partial \\dot q^\\alpha} \\right) = \\dot p_\\alpha$,因此有\n$$ \\frac{\\partial H}{\\partial q^\\alpha} = - \\dot p_\\alpha $$对广义动量求偏导：\n$$ \\frac{\\partial H}{\\partial p_\\alpha} = \\dot q^\\alpha - \\frac{\\partial L}{\\partial p_\\alpha} = \\dot q^\\alpha $$因此，我们将方程组\n$$ \\left\\{ \\begin{aligned} \\ \\frac{\\partial H}{\\partial t} \u0026= - \\frac{\\partial L}{\\partial t} \\\\ \\frac{\\partial H}{\\partial q^\\alpha} \u0026= - \\dot p_\\alpha \\\\ \\frac{\\partial H}{\\partial p_\\alpha} \u0026= \\dot q^\\alpha \\end{aligned} \\right. $$称作 $Hamilton$ 正则运动方程 . 物理系统的演化均服从这一方程组.\n我们还可以用很多方法得到哈密顿正则运动方程，比如最小作用量原理或者对哈密顿量取微分等等，在这里不加赘述.\n2.3.3 已知演化路径的动力学问题 在我们此前对最小作用量原理的推导中，我们讨论的都是这样的动力学问题：已知物理系统演化的初末状态，利用最小作用量原理求解系统演化的具体路径. 但其实，在一些情况下，我们知道物理系统究竟是怎样演化的，只是想要知道系统演化的结果. 我们可以用最小作用量原理来讨论这个问题.\n此时系统的作用量：\n$$ S = \\int_{t_0}^{t} L \\mathrm dt $$$$ \\delta S = \\int_{t_0}^{t} \\delta L \\mathrm dt = \\int_{t_0}^{t} \\mathrm dt\\left[ \\frac{\\partial L}{\\partial q^\\alpha}\\delta q^\\alpha + \\frac{\\mathrm d}{\\mathrm dt}\\left( \\frac{\\partial L}{\\partial \\dot q^\\alpha}\\delta q^\\alpha \\right) - \\frac{\\mathrm d}{\\mathrm dt}\\left( \\frac{\\partial L}{\\partial \\dot q^\\alpha}\\right) \\delta q^\\alpha \\right] $$$$ = \\int_{t_0}^{t} \\mathrm dt\\left[ \\frac{\\partial L}{\\partial q^\\alpha}\\delta q^\\alpha - \\frac{\\mathrm d}{\\mathrm dt}\\left( \\frac{\\partial L}{\\partial \\dot q^\\alpha}\\right) \\delta q^\\alpha \\right] + \\left. \\left( \\frac{\\partial L}{\\partial \\dot q^\\alpha}\\delta q^\\alpha \\right) \\right|_{t_0}^{t} $$由于系统演化的物理路径已经确定，故$ \\dfrac{\\partial L}{\\partial q^\\alpha} - \\dfrac{\\mathrm d}{\\mathrm dt}\\left( \\dfrac{\\partial L}{\\partial \\dot q^\\alpha}\\right) = 0$恒成立. 又由于起始状态确定，因而$\\delta q^\\alpha(t_0) = 0$ . 因此，上式可以化为：\n$$ \\delta S = \\frac{\\partial L}{\\partial \\dot q^\\alpha}\\delta q^\\alpha \\Rightarrow \\delta S = p_\\alpha \\delta q^\\alpha $$我们思考一下$S$和什么参数有关. 首先，由于$L = L(t, \\mathbf q, \\mathbf{\\dot q})$，因此$S$至多和$(t, \\mathbf q, \\mathbf{\\dot q})$有关. 其中，和时间$t$有关是显然的，因为我们讨论的就是物理系统随时间的演化结果；此外，由于物理系统演化路径已经确定，因此我们一定可以从$Euler-Lagrange$方程中求解出广义坐标$\\mathbf q = \\mathbf q(t)$与广义速度$\\mathbf{\\dot q} = \\mathbf{\\dot q}(t)$的关系，所以我们只需要知道系统的广义坐标$\\mathbf q$即可. 所以，$S = S(t, \\mathbf q)$. 故有：\n$$ \\delta S = \\frac{\\partial S}{\\partial q^\\alpha} \\delta q^\\alpha $$我们可以得到\n$$ p_\\alpha = \\frac{\\partial S}{\\partial q^\\alpha} $$进一步，对$S$求时间的全导数\n$$ \\frac{\\mathrm d S}{\\mathrm d t} = \\frac{\\partial S}{\\partial t} + \\frac{\\partial S}{\\partial q^\\alpha}\\dot q^\\alpha $$同时我们还有$\\dfrac{\\mathrm dS}{\\mathrm dt} = L = p_\\alpha q^\\alpha - H$，$p_\\alpha = \\dfrac{\\partial S}{\\partial q^\\alpha}$，代入\n$$ \\frac{\\partial S}{\\partial t} + H(t, \\mathbf q, \\mathbf p) = 0 $$称为$Hailton-Jacobi$方程.\n2.3.4 力学量随时间的演化 假设一个力学量$F$，其与系统所处的状态$(\\mathbf q, \\mathbf p)$以及时间$t$相关. 我们\n考虑一下其关于时间的演化\n$$ \\frac{\\mathrm dF}{\\mathrm dt} = \\frac{\\partial F}{\\partial t} + \\frac{\\partial F}{\\partial q^\\alpha}\\dot q^\\alpha + \\frac{\\partial F}{\\partial p_\\alpha}\\dot p_\\alpha $$其中，由于$\\dfrac{\\partial H}{\\partial p_\\alpha} = \\dot q^\\alpha , \\dfrac{\\partial H}{\\partial q^\\alpha} = - \\dot p_\\alpha$，可以得到\n$$ \\frac{\\mathrm dF}{\\mathrm dt} = \\frac{\\partial F}{\\partial t} + \\frac{\\partial F}{\\partial q^\\alpha}\\frac{\\partial H}{\\partial p_\\alpha} - \\frac{\\partial F}{\\partial p_\\alpha}\\frac{\\partial H}{\\partial q^\\alpha} $$在这里，我们引入一个更方便的记号：$Poisson$括号$\\left[ F, G \\right]_{PB} = \\dfrac{\\partial F}{\\partial q^\\alpha}\\dfrac{\\partial G}{\\partial p_\\alpha} - \\dfrac{\\partial F}{\\partial p_\\alpha}\\dfrac{\\partial G}{\\partial q^\\alpha}$. 这样，这个式子就可以写成\n$$ \\frac{\\mathrm dF}{\\mathrm dt} = \\frac{\\partial F}{\\partial t} +\\left[ F, H \\right]_{PB} $$つづく\n比如，速度相空间中，曲线$\\{ q = t, \\dot q =t^2 \\}$就是没有意义的. 因为$\\dfrac{\\mathrm d}{\\mathrm dt}q = 1 \\neq t^2 = \\dot q$.\u0026#160;\u0026#x21a9;\u0026#xfe0e;\n推导过程简单而繁琐，我在这里就不赘述了.\u0026#160;\u0026#x21a9;\u0026#xfe0e;\n我们可以通过物理坐标下$T = \\dfrac{1}{2}m \\mathbf{\\dot x}^2, \\mathbf p = m \\mathbf{\\dot x}$，得出$H(t, \\mathbf x, \\mathbf{\\dot x}) = m \\mathbf{\\dot x} \\cdot \\mathbf{\\dot x} - \\left( \\dfrac{1}{2}m \\mathbf{\\dot x}^2 - V(\\mathbf x) \\right) = \\dfrac{1}{2}m \\mathbf{\\dot x}^2 + V(\\mathbf x) = T+V$，然后再利用坐标变换$\\mathbf x = \\mathbf x (\\mathbf q)$变换成广义坐标的形式.\u0026#160;\u0026#x21a9;\u0026#xfe0e;\n","permalink":"https://blogs.starspress.org/posts/analmech_003/","summary":"从拉格朗日到哈密顿","title":"分析力学 003"},{"content":"Tip: 分析力学的往期内容戳这里\n0. 从最速降线问题讲起\u0026hellip;\u0026hellip; 1696年6月，著名数学家$Johann \\ Bernoulli$在一份科学期刊上发布了这样一个问题：\n在铅直平面上两点A，B之间要连一条曲线，使得不受摩擦的质点在重力的作用下由静止开始沿这条曲线由A运动到B所需要的时间最少？\n这个问题被称为最速降线问题. 我们不妨使用现代的数学方法来研究一下这个问题.\n以质点的初始位置为原点，在平面中建立平面直角坐标系$xOy$，$x$轴以曲线延伸方向为正方向，$y$轴以竖直向下为正方向. 设运动起点、终点分别为$(0, 0), (x_0, y_0)$\n由机械能守恒定律，有：\n$$ mgy = \\frac{1}{2}mv^2 \\Rightarrow v = \\frac{\\mathrm ds}{\\mathrm d t}= \\sqrt{2gy} $$其中\n$$ \\mathrm d s = \\sqrt{1 + \\left(y'\\right)^2} \\mathrm d x $$代入得：\n$$ \\mathrm d t = \\sqrt{\\frac{1 + \\left(y'\\right)^2}{2gy}} \\mathrm d x \\Rightarrow $$$$ t(y, y') = \\int_{0}^{x_0} \\sqrt{\\frac{1 + \\left(y'\\right)^2}{2gy}} \\mathrm d x $$我们遇到一个很尴尬的问题：求解这个问题，相当于要找到一个函数$y = y(x)$，使得$t(x, y, y')$取得最小值. 这与我们从前见过的问题截然不同. 我们以往讨论的问题中，函数的值取决于函数自变量所取的值；而在这里，影响$t$大小的已不再是某一个变量的取值，而是某个函数$y = y(x)$的具体形式. 因此，我们需要一个新的数学工具来帮助我们处理这个问题.\n1. 泛函与变分法 1.1 泛函 设一个集合$\\mathcal{F} = \\left\\{ f \\mid f : X \\rightarrow Y \\right\\}$（$X$与$Y$为两个数集），存在映射$S:\\mathcal{F} \\rightarrow \\mathbb{C}$. 我们称$S$为一个泛函. 这是数学家们讲的怪话，而我们只需要知道一件事即可：泛函是作用在函数上的“函数”.\n当然，泛函在数学上说不定有什么更加高深的定义方法. 但是这是数学家的工作，我们可以不用管他，只挑选我们感兴趣的那一部分内容就行. 事实上，在物理学中，我们最常讨论的泛函都具有以下形式：\n$$ S = \\int_{t_1}^{t_2} L(x, y, y', y'', \\dots, y^{(n)}) \\mathrm d x $$其中$y = y(x)$. 我们称泛函$L = L(x, y, y', y'', \\dots, y^{(n)})$为泛函$S$的被积函数1.\n因此上面的问题就变成了：已知这样一个泛函$S[y]$，我们应该如何求出其极值，以及取到极值时函数$y = y(x)$的形式？\n1.2 变分法 我们来（用物理一点的方法）回忆一下我们是如何求解一元函数极值的必要条件的：\n我们有一个性质足够好的一元函数$y = y(x)$，它的极值点为$x = x_0$. 我们在它的极值点左右取一个很小的区间，并想象有一个质点从区间的一端移向另一端. 我们很容易想到，在极值点处，质点的速度完全与$x$轴平行，换言之，质点在极值点处的运动不会造成函数值$y$的增加. 用数学家的车轱辘话讲就是\n$$ \\left. \\frac{\\mathrm d y}{\\mathrm d x} \\right|_{x=x_0} = 0 $$非常美妙的起点. 那我们能否讲这个方法用于泛函$S$上呢？能的兄弟能的：如果我对泛函$S$取一个微小的变化$\\delta S$，再令$\\delta S = 0$不就成了吗.\n但是我们发现一个问题：由于泛函$S$里不止包含了自变量$x$，还包含了函数$y$及其导数. 因此，我们必须要想办法刻画函数$y$的变化.\n一个很自然的想法是：我取$x$的一个微小变化$\\mathrm d x$，这样$y$也会相应有一个$\\mathrm d y$的变化. 只不过这个方法并不可行，因为$\\mathrm d y$描述的只是函数$y = y(x)$的值的微小变化，而真正影响$S[y]$的是函数$y = y(x)$的具体形式. 2\n那成，我们就让$y = y(x)$的形式发生一点微小的变化，体现在几何上就是将$y = y(x)$的图像“拨动”一点点，得到一个新的函数$\\tilde{y}$.\n我们与函数的微分相似，我们定义\n$$ \\delta y = \\tilde {y} - y $$为函数$y = y(x)$的变分，我们很容易得到变分运算时线性的. 同样地可以定义泛函$S$的变分：\n$$ \\delta S = S[y + \\delta y] - S[y] $$或者写成\n$$ \\delta S = \\int_{t_1}^{t_2}\\left( L[y + \\delta y] - L[y] \\right)\\mathrm d x = \\int_{t_1}^{t_2} \\delta L \\mathrm d x\n$$\n我们仿照函数的导数，设$\\delta L = \\dfrac{\\delta S}{\\delta y}\\delta y$，我们称形式上的记号$\\dfrac{\\delta S}{\\delta y}$为$S$的 “泛函导数”\n这样我们只需要让$\\dfrac{\\delta S}{\\delta y}$即可！可喜可贺可口可乐\u0026hellip;\u0026hellip;\n\u0026hellip;等等，这$\\dfrac{\\delta S}{\\delta y}$到底是一泡啥玩意啊\u0026hellip;\u0026hellip;\n当我们对这一坨数学玩意感到手足无措的时候，我们可以发挥一下我们物理学家的传统艺能——联想. （虽然数学家们会感到很生气，但是我们不去管他）\n对于一元函数，我们可以对它做泰勒展开. 哪对一个泛函凭什么就不行？说干就干.\n我们稍微“拨动”一下泛函$S$，得到$\\tilde{S} = S[y + \\epsilon\\ \\delta y]$，把它对$\\epsilon \\ \\delta y$展开：\n$$ S[y + \\epsilon \\ \\delta y] = S[y] + \\epsilon \\ \\delta S + \\frac{1}{2!} \\epsilon^2 \\ \\delta^2 S + \\dots $$从另一方面，我们还可以把$\\epsilon$视为一个变量，在$\\epsilon = 0$处对它进行展开：\n$$ S[y + \\epsilon \\ \\delta y] = S[y] + \\epsilon \\left. \\left( \\frac{\\mathrm d \\tilde S}{\\mathrm d \\epsilon} \\right) \\right|_{\\epsilon = 0} + \\frac{1}{2!} \\epsilon^2 \\left. \\left( \\frac{\\mathrm d^2 \\tilde S}{\\mathrm d \\epsilon^2} \\right) \\right|_{\\epsilon = 0} + \\dots $$对比一下各项系数，巧了，我们可以得到：\n$$ \\begin{aligned} \\delta S \u0026= \\left. \\left( \\frac{\\mathrm d \\tilde S}{\\mathrm d \\epsilon} \\right) \\right|_{\\epsilon = 0} =\\int_{t_1}^{t_2} \\left. \\frac{\\mathrm d}{\\mathrm d \\epsilon}L(x, y+\\epsilon \\delta y,y' + \\epsilon \\delta y', \\dots )\\right|_{\\epsilon = 0} \\mathrm d x \\\\ \\\\ \u0026= \\int_{t_1}^{t_2}\\mathrm d x \\left( \\frac{\\partial L}{\\partial y}\\delta y + \\frac{\\partial L}{\\partial y'}\\delta y'+ \\dots \\right) \\end{aligned} $$所以我们就有\n$$ \\delta L = \\frac{\\partial L}{\\partial y}\\delta y + \\frac{\\partial L}{\\partial y'}\\delta y'+ \\dots + \\frac{\\partial L}{\\partial y^{(n)}}\\mathrm d y^{(n)} $$由于$x$是一个变量，它的变分$\\delta x = 0$（我们没办法对一个变量进行形式上的变化，对吧）. 因此，$L$的变分还可以写成以下的形式：\n$$ \\delta L = \\frac{\\partial L}{\\partial x}\\delta x + \\frac{\\partial L}{\\partial y}\\delta y + \\frac{\\partial L}{\\partial y'}\\delta y'+ \\dots + \\frac{\\partial L}{\\partial y^{(n)}}\\mathrm d y^{(n)} $$这和$L$的全微分$\\mathrm d L = \\dfrac{\\partial L}{\\partial x}\\mathrm d x + \\dfrac{\\partial L}{\\partial y}\\mathrm d y + \\dfrac{\\partial L}{\\partial y'}\\mathrm d y'+ \\dots + \\dfrac{\\partial L}{\\partial y^{(n)}}\\mathrm d y^{(n)}$有着惊人的结构一致性. 这就给了我们一种计算泛函变分的方法.\n我们考虑一种简单的情形：对于泛函\n$$ S = \\int_{t_1}^{t_2}\\mathrm dx \\ L(x, y, y') $$其变分\n$$ \\delta S = \\int_{t_1}^{t_2}\\mathrm dx \\left( \\frac{\\partial L}{\\partial y}\\delta y + \\frac{\\partial L}{\\partial y'}\\delta y' \\right) $$而由下图可知：变分的导数等于导数的变分\n因此，第二项我们可以利用分部积分法写成\n$$ \\frac{\\partial L}{\\partial y'}\\delta y' = \\frac{\\partial L}{\\partial y'} \\frac{\\mathrm d}{\\mathrm dx}(\\delta y) = \\frac{\\mathrm d}{\\mathrm dx}\\left( \\frac{\\partial L}{\\partial y'}\\delta y \\right) - \\frac{\\mathrm d}{\\mathrm dx} \\left( \\frac{\\partial L}{\\partial y'} \\right)\\delta y $$回代：\n$$ \\begin{aligned} \\delta S \u0026= \\int_{t_1}^{t_2}\\mathrm dx \\left( \\frac{\\partial L}{\\partial y}\\delta y + \\frac{\\partial L}{\\partial y'}\\delta y' \\right) \\\\ \\\\ \u0026= \\int_{t_1}^{t_2}\\mathrm dx \\left[ \\frac{\\mathrm d}{\\mathrm dx}\\left( \\frac{\\partial L}{\\partial y'}\\delta y \\right) + \\frac{\\partial L}{\\partial y}\\delta y - \\frac{\\mathrm d}{\\mathrm dx} \\left( \\frac{\\partial L}{\\partial y'} \\right)\\delta y\\right] \\\\ \\\\ \u0026= \\left. \\left( \\frac{\\partial L}{\\partial y'}\\delta y \\right)\\right|_{t_1}^{t_2} + \\int_{t_1}^{t_2}\\mathrm dx \\left[ \\frac{\\partial L}{\\partial y} - \\frac{\\mathrm d}{\\mathrm dx} \\left( \\frac{\\partial L}{\\partial y'} \\right)\\right]\\delta y \\end{aligned} $$我们称$\\left. \\left( \\dfrac{\\partial L}{\\partial y'}\\delta y \\right)\\right|_{t_1}^{t_2}$为泛函$S$的边界项，称$\\dfrac{\\partial L}{\\partial y'}\\delta y$为被积函数的全导数项. 当泛函$S_1$与$S_2$仅相差边界项时，或者被积函数$L_1$与$L_2$仅相差全导数项时，我们记为$S_1 \\simeq S_2, L_1 \\simeq L_2$.\n继续.\n在最速降线问题中，积分上下限是确定的. 如果对于这样一个泛函，其积分限$t_1, t_2$确定，即$\\delta t_1 = \\delta t_2 = 0$. 那么S的边界项$\\left. \\left( \\dfrac{\\partial L}{\\partial y'}\\delta y \\right)\\right|_{t_1}^{t_2} = 0$. 此时\n$$ \\delta S = \\int_{t_1}^{t_2}\\mathrm dx \\left[ \\frac{\\partial L}{\\partial y} - \\frac{\\mathrm d}{\\mathrm dx} \\left( \\frac{\\partial L}{\\partial y'} \\right)\\right]\\delta y = \\int_{t_1}^{t_2} \\mathrm dx \\frac{\\delta S}{\\delta y}\\delta y $$即\n$$ \\frac{\\delta S}{\\delta y} = \\frac{\\partial L}{\\partial y} - \\frac{\\mathrm d}{\\mathrm dx} \\left( \\frac{\\partial L}{\\partial y'} \\right) $$泛函$S$取极值时，$\\dfrac{\\delta S}{\\delta y} = 0$，即\n$$ \\frac{\\partial L}{\\partial y} - \\frac{\\mathrm d}{\\mathrm dx} \\left( \\frac{\\partial L}{\\partial y'} \\right) = 0 $$称为$Euler-Lagrange$方程. 通过这个方程，我们可以求解出$S$取极值时，$y = y(x)$的表达式.\n2. 最小作用量原理 这个式子我们越看越眼熟\u0026hellip;\n在上一篇，我们还介绍过另一个$Euler-Lagrange$方程\n$$ \\frac{\\mathrm d}{\\mathrm d t}(\\frac{\\partial L}{\\partial \\dot q^\\alpha}) - \\frac{\\partial L}{\\partial q^\\alpha} =0 $$它们具有极其相似的结构. 这让我们不禁想象：我们如果构造这样一个泛函\n$$ S = \\int_{t_1}^{t_2} \\mathrm dt \\ L(t, \\mathbf q, \\mathbf {\\dot q}) $$当物理系统的初末状态$t_1, t_2$确定时，若泛函$S$取到了极值，那么便可自然得出分析力学中的$Euler-Lagrange$方程.\n也就是说，当物理系统的初末状态确定时，物理系统的演化路径一定可以使得这样的泛函$S$取到极值.\n我们称这样的泛函$S$为作用量，这样的原理称作最小作用量原理3.\n最小作用量原理不仅仅适用于牛顿力学与确定的初末状态. 事实上，任何物理理论的演化均服从最小作用量原理.\n对于不同的物理学理论，我们只要构造出合适的作用量，便可以通过最小作用量原理得出该理论下物理系统的演化路径.\nつづく\n你别管为什么物理学家要管一个泛函叫被积函数，问就是我们乐意.（其实是因为我学的那个版本就这么叫）\u0026#160;\u0026#x21a9;\u0026#xfe0e;\n因为我们讨论的$S$是一个定积分式，要遍历积分区间内所有$x$的取值. 因此讨论某一个$\\mathrm d x$带来的影响是没有意义的.\u0026#160;\u0026#x21a9;\u0026#xfe0e;\n这个时候，作用量$S$可能处于极大值、极小值或者鞍点值. 因此，这个原理称为稳恒作用量原理可能更为合适.\u0026#160;\u0026#x21a9;\u0026#xfe0e;\n","permalink":"https://blogs.starspress.org/posts/analmech_002/","summary":"泛函、变分法与最小作用量原理","title":"分析力学 002"},{"content":"Tip: 分析力学的往期内容戳这里\n1. 牛顿第二定律 在牛顿力学的视角下，质点的运动规律都服从一个二阶微分方程\n$$ \\mathbf{F}=m\\mathbf{\\ddot{x}} $$对于不同的力， $\\mathbf{F}$ 的形式有所不同。但是只要代入求解上述的微分方程，再加上 $\\textbf{x} $与 $\\mathbf{\\ddot{x}}$ 的初值条件，我们就可以得到这一个质点的运动方程$\\mathbf{x} = \\mathbf{x}(\\mathrm{t})$ .\n看起来，牛顿第二定律似乎足够我们解决大多数的动力学问题了. 但是对于具体的物理情景而言，情况似乎要复杂得多.\n1.1 物理坐标$(x, y)$下的单摆运动 例如，我们考虑匀重力场$\\mathbf{g}$下一个摆长为$l$单摆的运动：\n当它达到摆角$\\theta$时，受到绳子的约束力为$\\mathbf{T}$.\n由牛顿第二定律，在$x$轴与$y$轴方向上：\n$$ T \\sin \\theta = - m \\ddot{x} \\\\ $$$$ mg - T \\cos \\theta =m \\ddot{y} $$消去$\\mathrm{T}$得到：\n$$ \\ddot{x} + \\left(\\ddot{y}-g\\right)\\frac{x} {y}= 0 \\Rightarrow \\ddot{x} y + x\\left(\\ddot{y} - g\\right) = 0 $$不幸的是，在这样的情形下，仅凭借牛顿第二定律无法帮助我们得到单摆的运动方程. 原因是显而易见的：在这个情景下，质点不是在整个空间内不受束缚地自由运动. 它的运动受到了几何上的约束$\\mathrm{x^2+y^2} = l^2$，即摆绳不可自由伸长. 只有联立这两个方程，才能最终解出单摆的运动方程.\n对约束方程求二次导数：\n$$ x\\dot{x} + y\\dot{y} = 0 \\Rightarrow \\dot{y} = -\\frac{x}{y} \\dot{x} $$$$ \\dot{x}^2 + x \\ddot{x} + \\dot{y}^2 + y \\ddot{y} = 0 $$消去$\\mathrm{y, \\dot{y}, \\ddot{y}}$得到：\n$$ \\ddot{x} + \\frac{x}{L^2 - x^2} \\dot{x}^2 + \\frac{g}{L^2} x \\sqrt{L^2 - x^2} = 0 $$同理可得到$\\mathrm{y}$分量的运动方程.\n1.2 广义坐标与位形空间 1.2.1 旧有方法的不足 到这里，我们可以发现传统的牛顿第二定律在描述质点运动时的不足：\n牛顿第二定律是矢量定律，必须要考虑各个分量上的运动。而由于约束的存在，某些分量上的运动又不是互相独立的 在物理坐标$(x, y)$下，哪怕对于某些简单的运动，其运动方程也极其复杂 这些问题可以归结为：我们能否找到一组相互独立的坐标$(q^1, q^2)$1，使得我们可以不考虑约束的存在，而直接利用牛顿第二定律求解运动方程？\n幸运的是，这样的坐标是存在的.\n容易发现，在极坐标系下，单摆的位置可以由半径与摆角$(\\rho, \\theta)$这一对坐标描述，而由于几何约束，$\\rho \\equiv l$. 因此，我们只需要考虑$\\theta$方向的运动即可. 此时，由极坐标下的牛顿第二定律：$\\mathrm{F}_{\\theta} = \\mathrm{m(\\rho \\ddot{\\theta} + 2 \\dot{\\rho}\\dot{\\theta})}$可以得出：\n$$ \\mathrm{mg \\sin \\theta} = - \\mathrm{m}l\\ddot{\\theta} \\Rightarrow \\ddot{\\theta} + \\frac{\\mathrm{g}}{l} \\sin \\theta $$简单又简洁.\n事实上，对于任意一个带约束的力学系统，我们都可以找到一组两两独立的新坐标$\\mathbf{q}=(q^1, q^2, \\dots, q^s)$. 我们在这组坐标下使用牛顿第二定律，便可求解出系统的运动方程，而不用考虑系统所受具体的约束. 这样的坐标称为 “广义坐标”. 区别于由世界中真实可感的物理坐标$\\mathbf{x}=(x^1, x^2, \\dots, x^N)$张成的“物理空间”，广义坐标描述的空间称为 “位形空间”2，这是一个抽象的空间，其中的每一点都可以确定系统演化的某一个具体位置.\n1.2.2 位形空间中的动力学 我们前面提到过，在物理空间中，根据牛顿第二定律$\\mathbf{F} = m \\mathbf{\\ddot{x}}$，系统的演化都可以由多个二阶微分方程决定。我们只要知道$\\mathbf{x}$与$\\mathbf{\\dot{x}}$的初值条件，就可以确定这个系统的运动方程. 也就是说，一个物理系统可以由某时刻的位置$\\mathbf{x}$与速度$\\mathbf{\\dot{x}}$确定. 换言之，如果我要使用某个状态函数$S$来刻画一个物理系统的演化，只需要以$t$，$\\mathbf{x}$与$\\mathbf{\\dot{x}}$作为参数即可.\n这个结论在位形空间中是否成立呢？要研究这个问题，我们只需要知道位形空间中牛顿第二定律的阶数即可.\n为了书写方便，我们将引入$Einstein$求和约定：当一个表达式中出现了重复的指标（包括上标、下标）（我们称之为“哑指标”）相乘时，将这个重复指标视为求和索引，对表达式进行遍历求和：\n$$ p_i q_i :=\\sum_{i=1}^{n} p_i q_i $$$$ r_{\\mu\\nu} s_\\mu t_\\nu:= \\sum_{\\mu=1}^{n}\\sum_{\\nu=1}^{n} r_{\\mu\\nu} s_\\mu t_\\nu $$考虑一个从物理空间到位形空间的变换$\\mathbf{x=x(q)}$. 进而有$\\mathbf{\\dot{x}} = \\frac{\\partial \\mathbf{x}}{\\partial q^\\alpha} \\dot{q^\\alpha}$，$\\mathbf{\\ddot{x}}= \\frac{\\partial \\mathbf{x}}{\\partial q^\\alpha} \\ddot{q^\\alpha} + \\frac{\\partial^2 \\mathbf{x}}{\\partial q^\\alpha q^\\beta}\\ddot{q^\\alpha}\\dot{q^\\beta}$. 代入牛顿第二定律：\n$$ \\mathbf{F} = m\\left( \\frac{\\partial \\mathbf{x}}{\\partial q^\\alpha} \\ddot{q^\\alpha} + \\frac{\\partial^2 \\mathbf{x}}{\\partial q^\\alpha q^\\beta}\\ddot{q^\\alpha}\\dot{q^\\beta} \\right) $$也是一个二阶微分方程. 故在位形空间下，我们也只需要广义坐标$\\mathbf{q}$与广义速度$\\mathbf{\\dot{q}}$就可以确定一个物理系统的演化.\n2. $D'Alembert$原理与$Euler-Lagrange$方程 约束的问题解决了. 可我们又遇到了一个新的问题：按照我们上面的做法，我们需要求出在某套广义坐标$\\mathbf{q}$下牛顿第二定律的具体形式，才可以对运动学问题进行求解. 我们能否想办法绕过牛顿第二定律，找到某种可以一劳永逸的方法呢？\n在讨论这个问题之前，我想先介绍另一道题.\n2.1 虚位移、虚功 2.1.1 虚位移 如图所示：在一个光滑半球形的上方摆放一根不可伸长的匀质细绳，绳的质量为$m$，长为$l$. 绳的左端恰好竖直悬空；绳的右端恰好在半球形的最高点处，平行于地面. 重力加速度为$g$. 求绳右端的张力$T$. 当然，我们可以将这根绳分割为无数个质量微元，对微元做受力分析，再将结果积分. 这是一个很自然的想法. 但是，我在这里将给出一个更加巧妙的方法：虚功法. 假设在张力的作用下，绳子缓慢向右产生了一个虚位移$\\delta x$（我们马上就会解释这是什么）. 此时，张力对绳做的功$\\delta W = T \\delta x$.\n这些功完全转化为了绳的重力势能$\\delta E_p = (\\delta m) gR = \\frac{m}{l} \\delta x gh$（可以视为将绳下端一个$\\delta m$的质元切下，移动到了绳的上端）. 又：$l = \\frac{\\pi}{2}R$. 固我们可以得到$T = \\frac{mgR}{l} = \\frac{2mg}{\\pi}$.\n在这道题里面，尽管绳子始终保持静止，我们仍然假设其发生了一个虚拟的位移$\\delta x$，并以它为媒介结合绳的平衡状态求解出了一个常规方法难以求解的物理量. 在这里，我们要对这个虚位移$\\delta x$做一个更加准确的阐释：在某个确定的时刻上，质点可以发生的符合约束条件的位移. 我们刻画位移的时候，往往会取一段极短的时间$\\mathrm d t$，测量质点位置的变化$\\mathrm d \\mathbf r$；虚位移发生在某一个时刻$t$，因此虚位移$\\delta \\mathbf r$事实上是没有发生的.\n换言之，虚位移$\\delta \\mathbf r$既不刻画位置，也不描述移动\u0026hellip;\u0026hellip;\n闹着玩呢？\n我们不妨换一个方法理解. 在某一个时刻$t$，我们给质点拍下一张照片. 从这张照片中，我们得到的信息只有质点所处的位置$\\mathbf r$与质点所受的约束$\\Phi(\\mathbf r) = 0$（假设约束只与质点所处的位置有关，我们称之为完整约束；当约束还与质点的速度相关时，约束称为非完整约束）. 我们要根据这张照片，对质点接下来的运动进行预测. 此时，我们猜测物体可能发生的位移即为虚位移$\\delta \\mathbf r$.\n既然我们可以从质点的约束“猜测”出质点的虚位移，是否说明虚位移和虚功之间存在某种关系呢？\n设质点的位置为$\\mathbf r$，系统的约束为$\\Phi(\\mathbf r) = 0$. 质点发生虚位移$\\delta \\mathbf r$时，由定义，质点的位置仍然符合约束条件，即\n$$ \\Phi \\left(\\mathbf{r + \\delta r}\\right) = 0 $$展开\n$$ \\frac{\\partial \\Phi}{\\partial \\mathbf r} \\cdot \\mathbf{\\delta r} = 0 \\Rightarrow \\nabla \\Phi \\cdot \\mathbf{\\delta r} = 0 $$即：虚位移始终与几何约束的法向垂直. 或者说，虚位移始终沿几何约束的切向.\n2.1.2 虚功原理 虚位移是一个非常有用的工具。一方面，我们可以求出力在虚位移上做的虚功$\\delta W = \\mathbf{F \\cdot \\delta r}$，将质点某时刻受到的力同做功——进而同能量联系起来；另一方面，由于虚位移并没有实际发生，因此质点的运动状态并没有发生改变. 特殊地，当质点处于平衡状态时，其所受合外力的虚功$\\delta W = 0$. 我们称之为虚功原理.\n可是，在绝大多数情况下，质点的运动都是非平衡的。事实上，对于一个质点而言，它往往受到自由外力$\\mathbf F$，约束力$\\mathbf R$（作用是将质点束缚在约束条件上）的作用. 难道我们就要就此抛弃虚功原理这个简洁高效的方法了吗？\n这个时候法国物理学家$J. D'Alembert$ 跳了出来。他说，质点的运动满足牛顿第二定律\n$$ \\mathbf {F + R} = m\\mathbf{\\ddot{r}} $$这个质点的运动不满足平衡条件. 但是只要我们对这个式子进行简单的变形\n$$ \\mathbf{F + R} - m\\mathbf{\\ddot{r}} = \\mathbf{0} $$这个时候，等式右边为0，质点的运动不就是平衡的了吗？我们管$\\mathbf{f} = - m \\mathbf{\\ddot{r}}$叫做惯性力. 也就是说，对于一般的运动，质点所受的自由合外力$\\mathbf F$，约束力$\\mathbf R$与惯性力$-m\\mathbf{\\ddot r}$三力平衡.\n\u0026hellip;\u0026hellip;我说6，还能这么玩.\n但是既然我们可以使用惯性力将一般的运动化为平衡的运动，那么我们是不是就可以利用虚功原理了呢？\n说干就干. 此时，由虚功原理，合外力所做的虚功\n$$ \\left(\\mathbf{F + R} - m\\mathbf{\\ddot r}\\right) \\cdot \\mathbf{\\delta r} = 0 $$绝大多数情况下，约束力$\\mathbf R$与几何约束面垂直（我们称此时的约束为理想约束）. 由$\\nabla \\Phi \\cdot \\mathbf{\\delta r}=0$可得，$\\mathbf{R \\cdot \\delta r} = 0$. 故上式可以化为\n$$ \\left(\\mathbf{F} - m \\mathbf{\\ddot{r}}\\right) \\cdot \\mathbf{\\delta r} = 0 $$另一方面，既然都存在约束，那么更方便的选择一定是选取一组两两独立的广义坐标$\\mathbf{q}=(q^1, q^2, \\dots, q^s)$，再对系统进行描述. 广义坐标与物理坐标之间存在变换$\\mathbf{r = r(q)}$，那么我们可以得到\n$$ \\mathbf{\\delta r} = \\sum_{\\alpha = 1}^{s} \\frac{\\partial \\mathbf{r}}{\\partial q^\\alpha} \\delta q^\\alpha $$牢记$Einstein$求和约定（见1.2.2），我们可以把它改写为\n$$ \\mathbf{\\delta r} = \\frac {\\partial \\mathbf{r}}{\\partial q^\\alpha} \\delta q^\\alpha $$从而有\n$$ \\left( \\mathbf {F} \\cdot \\frac {\\partial \\mathbf{r}}{\\partial q^\\alpha} - m \\mathbf{\\ddot r} \\cdot \\frac {\\partial \\mathbf{r}}{\\partial q^\\alpha}\\right) \\delta q^\\alpha =0 $$由于广义坐标$\\mathbf q = (q^1, q^2, \\dots, q^s)$这$s$个变量两两独立，为使上面这个$s$项和式（牢记$Einstein$求和约定！）为$0$，则其中的每一项系数\n$$ \\mathbf {F} \\cdot \\frac {\\partial \\mathbf{r}}{\\partial q^\\alpha} - m \\mathbf{\\ddot r} \\cdot \\frac {\\partial \\mathbf{r}}{\\partial q^\\alpha} = 0 $$多说一嘴，现在这个式子中已经不存在相乘的重复指标了，不符合$Einstein$求和约定的使用条件. 因此$q^\\alpha$就是一个带指标的变量.\n为了简化这个等式的形式，我们定义$Q_\\alpha = \\mathbf {F} \\cdot \\frac {\\partial \\mathbf{r}}{\\partial q^\\alpha}$，称之为广义力（在$q^\\alpha$上的分量）3 .广义力的具体形式我们马上就会给出. 我们把上式改写成：\n$$ Q_\\alpha = m \\mathbf{\\ddot r} \\cdot \\frac {\\partial \\mathbf{r}}{\\partial q^\\alpha} $$我们考虑等号右边，利用分部积分法可以得到：\n$$ m \\mathbf{\\ddot r} \\cdot \\frac {\\partial \\mathbf{r}}{\\partial q^\\alpha} = m \\frac{\\mathrm d}{\\mathrm d t}\\left( \\mathbf{\\dot r} \\cdot \\frac {\\partial \\mathbf{r}}{\\partial q^\\alpha}\\right) - m\\mathbf{\\dot r} \\cdot \\frac{\\mathrm d}{\\mathrm d t}\\left( \\frac {\\partial \\mathbf{r}}{\\partial q^\\alpha}\\right) $$其中：\n$$ \\mathbf{\\dot r} = \\frac{\\partial \\mathbf{r}}{\\partial q^\\beta}\\dot q^\\beta $$这里有出现重复指标$\\beta$，注意$Einstein$求和约定！\n从这里，我们可以得到一个结论：\n$$ \\frac{\\partial \\mathbf{\\dot r}}{\\partial \\dot q^\\beta} = \\frac{\\partial \\mathbf{r}}{\\partial q^\\beta} $$而另一部分\n$$ \\frac{\\mathrm d}{\\mathrm d t}\\left( \\frac {\\partial \\mathbf{r}}{\\partial q^\\alpha}\\right) = \\frac{\\partial}{\\partial q^\\beta}\\left( \\frac {\\partial \\mathbf{r}}{\\partial q^\\alpha}\\right) \\dot q^\\beta = \\frac{\\partial}{\\partial q^\\alpha}\\left[\\left( \\frac {\\partial \\mathbf{r}}{\\partial q^\\beta}\\right) \\dot q^\\beta\\right] = \\frac{\\partial \\mathbf{\\dot r}}{\\partial q^\\alpha} $$从而我们得到：\n$$ m \\mathbf{\\ddot r} \\cdot \\frac {\\partial \\mathbf{r}}{\\partial q^\\alpha} =\\frac{\\mathrm d}{\\mathrm d t}\\left( m\\mathbf{\\dot r} \\cdot \\frac {\\partial \\mathbf{r}}{\\partial q^\\alpha}\\right) - m\\mathbf{\\dot r} \\cdot \\frac {\\partial \\mathbf{\\dot r}}{\\partial q^\\alpha} $$即\n$$ Q_\\alpha = \\frac{\\mathrm d}{\\mathrm d t}\\left( m\\mathbf{\\dot r} \\cdot \\frac {\\partial \\mathbf{r}}{\\partial q^\\alpha}\\right) - m\\mathbf{\\dot r} \\cdot \\frac {\\partial \\mathbf{\\dot r}}{\\partial q^\\alpha} $$我们考虑系统的动能$T(\\mathbf{\\dot r}) = \\frac{1}{2}m(\\mathbf{\\dot r})^2$\n$$ \\frac{\\partial T}{\\partial \\dot q^\\alpha} = \\frac{\\partial T}{\\partial \\mathbf{\\dot r}} \\cdot \\frac {\\partial \\mathbf{\\dot r}}{\\partial \\dot q^\\alpha} = m\\mathbf{\\dot r} \\cdot \\frac {\\partial \\mathbf{\\dot r}}{\\partial \\dot q^\\alpha} = m\\mathbf{\\dot r} \\cdot \\frac {\\partial \\mathbf{r}}{\\partial q^\\alpha} $$$$ \\frac{\\partial T}{\\partial q^\\alpha} = \\frac{\\partial T}{\\partial \\mathbf{\\dot r}} \\cdot \\frac {\\partial \\mathbf{\\dot r}}{\\partial q^\\alpha} = m\\mathbf{\\dot r} \\cdot \\frac {\\partial \\mathbf{\\dot r}}{\\partial q^\\alpha} $$因此，我们可以得到：\n$$ Q_\\alpha = \\frac{\\mathrm d}{\\mathrm d t}\\left( \\frac{\\partial T}{\\partial \\dot q^\\alpha}\\right) - \\frac{\\partial T}{\\partial q^\\alpha} $$这个式子称为$D'Alambert$虚功原理.\n2.1.3 $Euler-Lagrange$方程 我们来看看广义力又是什么.\n假如质点只受到保守自由外力的作用，即自由外力做功与路径无关，而只与做功的初末位置有关，则有$\\mathbf{F} = -\\nabla V(\\mathbf r, t)=-\\frac{\\partial V}{\\partial \\mathbf r}$. 代入广义力的定义式，并结合链式法则，可以得到\n$$ Q_\\alpha = \\mathbf {F} \\cdot \\frac {\\partial \\mathbf{r}}{\\partial q^\\alpha} = -\\frac{\\partial V}{\\partial \\mathbf r} \\cdot \\frac {\\partial \\mathbf{r}}{\\partial q^\\alpha} = -\\frac{\\partial V}{\\partial q^\\alpha} $$代入$D'Alembert$虚功原理的表达式，整理得：\n$$ \\frac{\\mathrm d}{\\mathrm d t}\\left(\\frac{\\partial T}{\\partial \\dot q^\\alpha}\\right) - \\frac{\\partial \\left(T - V\\right)}{\\partial q^\\alpha} =0 $$我们定义$L(t, \\mathbf{q,\\dot q }) = T - V$. 绝大多数情况下，动能$T$都是关于速度$\\mathbf {\\dot q}$的函数，而与位置$\\mathbf q$无关；势能$V$都是关于位置$\\mathbf { q}$的函数，而与速度$\\mathbf {\\dot q}$无关. 因此，上式可以改写成\n$$ \\frac{\\mathrm d}{\\mathrm d t}\\left(\\frac{\\partial L}{\\partial \\dot q^\\alpha}\\right) - \\frac{\\partial L}{\\partial q^\\alpha} =0 $$这个方程称为$Euler-Lagrange$方程. $L(t, \\mathbf{q,\\dot q })$称为系统的拉格朗日量$Lagrangian$. 我们将其反代回$D'Alembert$虚功原理表达式：\n$$ \\begin{aligned} Q_\\alpha \u0026= \\frac{\\mathrm d}{\\mathrm d t}\\left[\\frac{\\partial \\left(L+V\\right)}{\\partial \\dot q^\\alpha}\\right] - \\frac{\\partial \\left(L+V\\right)}{\\partial q^\\alpha} \\\\ \\\\ \\Rightarrow Q_\\alpha \u0026= \\underbrace{\\left[\\frac{\\mathrm d}{\\mathrm d t}\\left(\\frac{\\partial L}{\\partial \\dot q^\\alpha}\\right) - \\frac{\\partial L}{\\partial q^\\alpha}\\right]}_{\\text{0}} + \\left[\\frac{\\mathrm d}{\\mathrm d t}\\left(\\frac{\\partial V}{\\partial \\dot q^\\alpha}\\right) - \\frac{\\partial V}{\\partial q^\\alpha}\\right] \\end{aligned} $$即\n$$ Q_\\alpha = \\frac{\\mathrm d}{\\mathrm d t}\\left(\\frac{\\partial V}{\\partial \\dot q^\\alpha}\\right) - \\frac{\\partial V}{\\partial q^\\alpha} $$对于任意一个力学系统：\n当我们知道它的动能$T$与势能$V$的表达式时，我们就可以直接使用$Euler-Lagrange$方程求解出物体各个分量上的运动方程\n当我们知道广义力的表达式$Q_\\alpha$4时，我们可以利用$D'Alembert$虚功原理求解出其势能$V$，随后可以进一步得到它的拉格朗日量，从而解出它的运动方程\n我们以后会发现：$L(t, \\mathbf{q,\\dot q }) = T - V$只在低速（$v \\ll c$）弱场（$V \\ll mc^2$）时才成立. 一般情形下的拉格朗日量我们将在之后说明.\n特殊地，对于牛顿力学下的一个质点，$T = \\frac{1}{2}m(\\mathbf{\\dot r})^2$，$V = V(\\mathbf r)$，其$Euler-Lagrange$方程\n$$ \\frac{\\mathrm d}{\\mathrm d t}\\left(m\\mathbf{\\dot r}\\right) + \\frac{\\partial V}{\\partial \\mathbf{r}} = 0 \\Rightarrow \\mathbf F = \\frac{\\mathrm d \\left(m\\mathbf v\\right)}{\\mathrm d t} = m \\mathbf{\\ddot r} $$退化为了牛顿第二定律的形式. 这说明，在牛顿力学的体系下，牛顿第二定律与$Euler-Lagrange$方程等价.\nつづく\n出于某些原因，我们将坐标的指标写在字母的右上方，如$q^1, q^2, \\dots, q^\\alpha, \\dots, q^s$. 当出现幂运算时（很少！），我们会写成$(q^1)^2, (q^2)^2, \\dots, (q^s)^2$\u0026#160;\u0026#x21a9;\u0026#xfe0e;\n位形指的是系统中各个质点的空间位置，或者更一般物理系统的形状、分布等. 系统所有的位形组成的集合称作位形空间. 因此严格来讲，位形空间并不只能用广义坐标描述，只是在分析力学中我们常用广义坐标而已.\u0026#160;\u0026#x21a9;\u0026#xfe0e;\n这个定义是自然的. 因为自由外力做的虚功$\\delta W_{\\mathbf{F}} = \\mathbf{F \\cdot \\delta r} = \\mathbf {F} \\cdot \\frac {\\partial \\mathbf{r}}{\\partial q^\\alpha} \\delta q^\\alpha = Q_\\alpha \\delta q^\\alpha$（最后两个等号使用了$Einstein$求和约定），即自由外力在物理坐标下的虚功等于广义力在广义坐标下的虚功.\u0026#160;\u0026#x21a9;\u0026#xfe0e;\n事实上，即使当广义力不是保守力时（即传统意义上的势能$V$不存在时），这个方法仍然有效. 这个时候，我们称$V$为广义势能. 我们可以用这个方法利用$Euler-Lagrange$方程求解耗散系统（比如电磁场中运动的带电粒子）的运动方程.\u0026#160;\u0026#x21a9;\u0026#xfe0e;\n","permalink":"https://blogs.starspress.org/posts/analmech_001/","summary":"从牛顿第二定律到拉格朗日方程","title":"分析力学 001"},{"content":"你好！我是Ivy_C，或者你也可以叫我藤椒味猪猪或者其他什么名字\n我是一名2025级物理系本科生\n我建立这个博客主要是为了记录我这段时间来自学各种奇奇怪怪东西的成果\n当然因为是自学，所以很多内容无法保证足够严谨\n同时，我对知识的理解也不足以让我把这些内容生动有趣地表达出来\n我做这些只是单纯为了记录+自娱自乐，所以说不定哪天我就不会更新了（\n虽然我不觉得我写这个东西会有什么人看，但是如果你看到了这句话，我感到无比的荣幸\n不管怎么说，祝你生活愉快，诸事顺遂！\n","permalink":"https://blogs.starspress.org/about/","summary":"\u003cp\u003e你好！我是Ivy_C，或者你也可以叫我藤椒味猪猪或者其他什么名字\u003c/p\u003e\n\u003chr\u003e\n\u003cp\u003e我是一名2025级物理系本科生\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e我建立这个博客主要是为了记录我这段时间来自学各种奇奇怪怪东西的成果\u003c/p\u003e","title":"关于我"}]