0. 从最速降线问题讲起……

1696年6月，著名数学家$Johann \ Bernoulli$在一份科学期刊上发布了这样一个问题：

在铅直平面上两点A，B之间要连一条曲线，使得不受摩擦的质点在重力的作用下由静止开始沿这条曲线由A运动到B所需要的时间最少？

我们不妨使用现代的数学方法来研究一下这个问题.

以质点的初始位置为原点，在平面中建立平面直角坐标系$xOy$，$x$轴以曲线延伸方向为正方向，$y$轴以竖直向下为正方向. 设运动起点、终点分别为$(0, 0), (x_0, y_0)$

由机械能守恒定律，有：

$$ mgy = \frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow v = \frac{\mathrm ds}{\mathrm d t}= \sqrt{2gy} $$

其中

$$ \mathrm d s = \sqrt{1 + \left(y'\right)^2} \mathrm d x $$

代入得：

$$ \mathrm d t = \sqrt{\frac{1 + \left(y'\right)^2}{2gy}} \mathrm d x \Rightarrow $$$$ t(y, y') = \int_{0}^{x_0} \sqrt{\frac{1 + \left(y'\right)^2}{2gy}} \mathrm d x $$

我们遇到一个很尴尬的问题：求解这个问题，相当于要找到一个函数$y = y(x)$，使得$t(x, y, y’)$取得最小值. 这与我们从前见过的问题截然不同. 我们以往讨论的问题中，函数的值取决于函数自变量所取的值；而在这里，影响$t$大小的已不再是某一个变量的取值，而是某个函数$y = y(x)$的具体形式. 因此，我们需要一个新的数学工具来帮助我们处理这个问题.