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0. 从最速降线问题讲起……
1696年6月，著名数学家$Johann \ Bernoulli$在一份科学期刊上发布了这样一个问题：
在铅直平面上两点A，B之间要连一条曲线，使得不受摩擦的质点在重力的作用下由静止开始沿这条曲线由A运动到B所需要的时间最少？
这个问题被称为最速降线问题. 我们不妨使用现代的数学方法来研究一下这个问题.
以质点的初始位置为原点，在平面中建立平面直角坐标系$xOy$，$x$轴以曲线延伸方向为正方向，$y$轴以竖直向下为正方向. 设运动起点、终点分别为$(0, 0), (x_0, y_0)$
由机械能守恒定律，有：
$$ mgy = \frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow v = \frac{\mathrm ds}{\mathrm d t}= \sqrt{2gy} $$其中
$$ \mathrm d s = \sqrt{1 + \left(y'\right)^2} \mathrm d x $$代入得：
$$ \mathrm d t = \sqrt{\frac{1 + \left(y'\right)^2}{2gy}} \mathrm d x \Rightarrow $$$$ t(y, y') = \int_{0}^{x_0} \sqrt{\frac{1 + \left(y'\right)^2}{2gy}} \mathrm d x $$我们遇到一个很尴尬的问题：求解这个问题，相当于要找到一个函数$y = y(x)$，使得$t(x, y, y')$取得最小值. 这与我们从前见过的问题截然不同. 我们以往讨论的问题中，函数的值取决于函数自变量所取的值；而在这里，影响$t$大小的已不再是某一个变量的取值，而是某个函数$y = y(x)$的具体形式. 因此，我们需要一个新的数学工具来帮助我们处理这个问题.
1. 泛函与变分法
1.1 泛函
设一个集合$\mathcal{F} = \left\{ f \mid f : X \rightarrow Y \right\}$（$X$与$Y$为两个数集），存在映射$S:\mathcal{F} \rightarrow \mathbb{C}$. 我们称$S$为一个泛函. 这是数学家们讲的怪话，而我们只需要知道一件事即可：泛函是作用在函数上的“函数”.
当然，泛函在数学上说不定有什么更加高深的定义方法. 但是这是数学家的工作，我们可以不用管他，只挑选我们感兴趣的那一部分内容就行. 事实上，在物理学中，我们最常讨论的泛函都具有以下形式：
$$ S = \int_{t_1}^{t_2} L(x, y, y', y'', \dots, y^{(n)}) \mathrm d x $$其中$y = y(x)$. 我们称泛函$L = L(x, y, y', y'', \dots, y^{(n)})$为泛函$S$的被积函数1.
因此上面的问题就变成了：已知这样一个泛函$S[y]$，我们应该如何求出其极值，以及取到极值时函数$y = y(x)$的形式？
1.2 变分法
我们来（用物理一点的方法）回忆一下我们是如何求解一元函数极值的必要条件的：
我们有一个性质足够好的一元函数$y = y(x)$，它的极值点为$x = x_0$. 我们在它的极值点左右取一个很小的区间，并想象有一个质点从区间的一端移向另一端. 我们很容易想到，在极值点处，质点的速度完全与$x$轴平行，换言之，质点在极值点处的运动不会造成函数值$y$的增加. 用数学家的车轱辘话讲就是
$$ \left. \frac{\mathrm d y}{\mathrm d x} \right|_{x=x_0} = 0 $$非常美妙的起点. 那我们能否讲这个方法用于泛函$S$上呢？能的兄弟能的：如果我对泛函$S$取一个微小的变化$\delta S$，再令$\delta S = 0$不就成了吗.
但是我们发现一个问题：由于泛函$S$里不止包含了自变量$x$，还包含了函数$y$及其导数. 因此，我们必须要想办法刻画函数$y$的变化.
一个很自然的想法是：我取$x$的一个微小变化$\mathrm d x$，这样$y$也会相应有一个$\mathrm d y$的变化. 只不过这个方法并不可行，因为$\mathrm d y$描述的只是函数$y = y(x)$的值的微小变化，而真正影响$S[y]$的是函数$y = y(x)$的具体形式. 2
那成，我们就让$y = y(x)$的形式发生一点微小的变化，体现在几何上就是将$y = y(x)$的图像“拨动”一点点，得到一个新的函数$\tilde{y}$.
我们与函数的微分相似，我们定义
为函数$y = y(x)$的变分，我们很容易得到变分运算时线性的. 同样地可以定义泛函$S$的变分：
$$ \delta S = S[y + \delta y] - S[y] $$或者写成
$$ \delta S = \int_{t_1}^{t_2}\left( L[y + \delta y] - L[y] \right)\mathrm d x = \int_{t_1}^{t_2} \delta L \mathrm d x
$$
我们仿照函数的导数，设$\delta L = \dfrac{\delta S}{\delta y}\delta y$，我们称形式上的记号$\dfrac{\delta S}{\delta y}$为$S$的 “泛函导数”
这样我们只需要让$\dfrac{\delta S}{\delta y}$即可！可喜可贺可口可乐……
…等等，这$\dfrac{\delta S}{\delta y}$到底是一泡啥玩意啊……
当我们对这一坨数学玩意感到手足无措的时候，我们可以发挥一下我们物理学家的传统艺能——联想. （虽然数学家们会感到很生气，但是我们不去管他）
对于一元函数，我们可以对它做泰勒展开. 哪对一个泛函凭什么就不行？说干就干.
我们稍微“拨动”一下泛函$S$，得到$\tilde{S} = S[y + \epsilon\ \delta y]$，把它对$\epsilon \ \delta y$展开：
$$ S[y + \epsilon \ \delta y] = S[y] + \epsilon \ \delta S + \frac{1}{2!} \epsilon^2 \ \delta^2 S + \dots $$从另一方面，我们还可以把$\epsilon$视为一个变量，在$\epsilon = 0$处对它进行展开：
$$ S[y + \epsilon \ \delta y] = S[y] + \epsilon \left. \left( \frac{\mathrm d \tilde S}{\mathrm d \epsilon} \right) \right|_{\epsilon = 0} + \frac{1}{2!} \epsilon^2 \left. \left( \frac{\mathrm d^2 \tilde S}{\mathrm d \epsilon^2} \right) \right|_{\epsilon = 0} + \dots $$对比一下各项系数，巧了，我们可以得到：
$$ \begin{aligned} \delta S &= \left. \left( \frac{\mathrm d \tilde S}{\mathrm d \epsilon} \right) \right|_{\epsilon = 0} =\int_{t_1}^{t_2} \left. \frac{\mathrm d}{\mathrm d \epsilon}L(x, y+\epsilon \delta y,y' + \epsilon \delta y', \dots )\right|_{\epsilon = 0} \mathrm d x \\ \\ &= \int_{t_1}^{t_2}\mathrm d x \left( \frac{\partial L}{\partial y}\delta y + \frac{\partial L}{\partial y'}\delta y'+ \dots \right) \end{aligned} $$所以我们就有
$$ \delta L = \frac{\partial L}{\partial y}\delta y + \frac{\partial L}{\partial y'}\delta y'+ \dots + \frac{\partial L}{\partial y^{(n)}}\mathrm d y^{(n)} $$由于$x$是一个变量，它的变分$\delta x = 0$（我们没办法对一个变量进行形式上的变化，对吧）. 因此，$L$的变分还可以写成以下的形式：
$$ \delta L = \frac{\partial L}{\partial x}\delta x + \frac{\partial L}{\partial y}\delta y + \frac{\partial L}{\partial y'}\delta y'+ \dots + \frac{\partial L}{\partial y^{(n)}}\mathrm d y^{(n)} $$这和$L$的全微分$\mathrm d L = \dfrac{\partial L}{\partial x}\mathrm d x + \dfrac{\partial L}{\partial y}\mathrm d y + \dfrac{\partial L}{\partial y'}\mathrm d y'+ \dots + \dfrac{\partial L}{\partial y^{(n)}}\mathrm d y^{(n)}$有着惊人的结构一致性. 这就给了我们一种计算泛函变分的方法.
我们考虑一种简单的情形：对于泛函
$$ S = \int_{t_1}^{t_2}\mathrm dx \ L(x, y, y') $$其变分
$$ \delta S = \int_{t_1}^{t_2}\mathrm dx \left( \frac{\partial L}{\partial y}\delta y + \frac{\partial L}{\partial y'}\delta y' \right) $$而由下图可知：变分的导数等于导数的变分
因此，第二项我们可以利用分部积分法写成
$$ \frac{\partial L}{\partial y'}\delta y' = \frac{\partial L}{\partial y'} \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(\delta y) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \frac{\partial L}{\partial y'}\delta y \right) - \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \left( \frac{\partial L}{\partial y'} \right)\delta y $$回代：
$$ \begin{aligned} \delta S &= \int_{t_1}^{t_2}\mathrm dx \left( \frac{\partial L}{\partial y}\delta y + \frac{\partial L}{\partial y'}\delta y' \right) \\ \\ &= \int_{t_1}^{t_2}\mathrm dx \left[ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \frac{\partial L}{\partial y'}\delta y \right) + \frac{\partial L}{\partial y}\delta y - \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \left( \frac{\partial L}{\partial y'} \right)\delta y\right] \\ \\ &= \left. \left( \frac{\partial L}{\partial y'}\delta y \right)\right|_{t_1}^{t_2} + \int_{t_1}^{t_2}\mathrm dx \left[ \frac{\partial L}{\partial y} - \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \left( \frac{\partial L}{\partial y'} \right)\right]\delta y \end{aligned} $$我们称$\left. \left( \dfrac{\partial L}{\partial y'}\delta y \right)\right|_{t_1}^{t_2}$为泛函$S$的边界项，称$\dfrac{\partial L}{\partial y'}\delta y$为被积函数的全导数项. 当泛函$S_1$与$S_2$仅相差边界项时，或者被积函数$L_1$与$L_2$仅相差全导数项时，我们记为$S_1 \simeq S_2, L_1 \simeq L_2$.
继续.
在最速降线问题中，积分上下限是确定的. 如果对于这样一个泛函，其积分限$t_1, t_2$确定，即$\delta t_1 = \delta t_2 = 0$. 那么S的边界项$\left. \left( \dfrac{\partial L}{\partial y'}\delta y \right)\right|_{t_1}^{t_2} = 0$. 此时
$$ \delta S = \int_{t_1}^{t_2}\mathrm dx \left[ \frac{\partial L}{\partial y} - \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \left( \frac{\partial L}{\partial y'} \right)\right]\delta y = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm dx \frac{\delta S}{\delta y}\delta y $$即
$$ \frac{\delta S}{\delta y} = \frac{\partial L}{\partial y} - \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \left( \frac{\partial L}{\partial y'} \right) $$泛函$S$取极值时，$\dfrac{\delta S}{\delta y} = 0$，即
$$ \frac{\partial L}{\partial y} - \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \left( \frac{\partial L}{\partial y'} \right) = 0 $$称为$Euler-Lagrange$方程. 通过这个方程，我们可以求解出$S$取极值时，$y = y(x)$的表达式.
2. 最小作用量原理
这个式子我们越看越眼熟…
在上一篇，我们还介绍过另一个$Euler-Lagrange$方程
$$ \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}(\frac{\partial L}{\partial \dot q^\alpha}) - \frac{\partial L}{\partial q^\alpha} =0 $$它们具有极其相似的结构. 这让我们不禁想象：我们如果构造这样一个泛函
$$ S = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm dt \ L(t, \mathbf q, \mathbf {\dot q}) $$当物理系统的初末状态$t_1, t_2$确定时，若泛函$S$取到了极值，那么便可自然得出分析力学中的$Euler-Lagrange$方程.
也就是说，当物理系统的初末状态确定时，物理系统的演化路径一定可以使得这样的泛函$S$取到极值.
我们称这样的泛函$S$为作用量，这样的原理称作最小作用量原理3.
最小作用量原理不仅仅适用于牛顿力学与确定的初末状态. 事实上，任何物理理论的演化均服从最小作用量原理.
对于不同的物理学理论，我们只要构造出合适的作用量，便可以通过最小作用量原理得出该理论下物理系统的演化路径.
つづく